有理数

说明

有理数定义为两个整数a和b的商，二者分别称为分子和分母，其中b != 0。

有理数r = a/b的绝对值|r|等于|a|/|b|。

两个有理数r₁ = a₁/b₁和r₂ = a₂/b₂的和为r₁ + r₂ = a₁/b₁ + a₂/b₂ = (a₁ * b₂ + a₂ * b₁) / (b₁ * b₂)。

两个有理数r₁ = a₁/b₁和r₂ = a₂/b₂的差为r₁ - r₂ = a₁/b₁ - a₂/b₂ = (a₁ * b₂ - a₂ * b₁) / (b₁ * b₂)。

两个有理数r₁ = a₁/b₁和r₂ = a₂/b₂的积（乘法）为r₁ * r₂ = (a₁ * a₂) / (b₁ * b₂)。

有理数r₁ = a₁/b₁除以另一个有理数r₂ = a₂/b₂，结果为r₁ / r₂ = (a₁ * b₂) / (a₂ * b₁)，前提是a₂不为零。

有理数r = a/b的n次幂（n为非负整数）等于r^n = (a^n)/(b^n)。

有理数r = a/b的n次幂（n为负整数）等于r^n = (b^m)/(a^m)，其中m = |n|。

有理数r = a/b的x次幂（x为实数，即浮点数）等于商(a^x)/(b^x)，结果是一个实数。

以有理数r = a/b为指数求实数x的幂，等于x^(a/b) = root(x^a, b)，其中root(p, q)表示p的q次方根。

实现以下运算：

• 两个有理数的加法、减法、乘法和除法，
• 绝对值，给定有理数的整数次幂，给定有理数的实数（浮点数）次幂，以及实数以有理数为指数的幂。

有理数的实现结果应始终约分到最简形式。 例如，4/4应约分为1/1，30/60应约分为1/2，12/8应约分为3/2，等等。 要约分有理数r = a/b，可将a和b除以a和b的最大公约数（gcd）。 例如，gcd(12, 8) = 4，因此r = 12/8可以约分为(12/4)/(8/4) = 3/2。 有理数约分后的形式应为“标准形式”（分母应始终为正整数）。 如果分母是负整数，就将分子和分母都乘以-1，以确保得到标准形式。 例如，3/-4应约分为-3/4

假设你使用的编程语言没有有理数的实现。

有理数与实数之间的幂运算需要计算一个数的非整数次幂，而 WebAssembly 原生并不支持这一功能。

不过，你也可以把 x ^ y 表示为 x ^ y = exp(y * ln(x))。

幸运的是，我们可以用不同的级数来计算指数函数和自然对数。

指数函数

计算指数函数最好的方法是用泰勒级数：

exp(x) ≃ 1 + x + x ^ 2 / 2! + x ^ 3 / 3! + x ^ 4 / 4! + ... + x ^ n / n!

对数函数（x 为正数时）

高效计算自然对数有多种方法。其中一种是基于反双曲正切的级数：

ln(x) / 2 ≃ y + y ^ 3 / 3 + y ^ 5 / 5 + ... + y ^ n / n where y = (x - 1) / (x + 1)

还有另一种计算自然对数的泰勒级数：

ln(x) = (x - 1) - (x - 1) ^ 2 / 2 + (x  - 1) ^ 3 / 3 - (x - 1) ^ 4 / 4 ... + (x - 1) ^ n / n

它只在 x 介于 0 和 2 之间时准确。不过我们也可以用 ln(x) = - ln(1 / x)。

整数幂

整数幂运算最好用乘法和循环或递归来实现，这既是出于性能考虑，也是出于精度考虑。为了进一步提升性能，可以用霍纳法则来减少乘法的次数。

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来源

Wikipedia