Instruções
Um número racional é definido como o quociente de dois inteiros a e b, chamados de numerador e denominador, respectivamente, onde b != 0.
Observe que, matematicamente, o denominador não pode ser zero.
No entanto, em muitas implementações de números racionais, você vai encontrar o denominador podendo ser zero, com um comportamento semelhante ao infinito positivo ou negativo em números de ponto flutuante.
Nesses casos, o denominador e o numerador geralmente ainda não podem ser ambos zero ao mesmo tempo.
O valor absoluto |r| do número racional r = a/b é igual a |a|/|b|.
A soma de dois números racionais r₁ = a₁/b₁ e r₂ = a₂/b₂ é r₁ + r₂ = a₁/b₁ + a₂/b₂ = (a₁ * b₂ + a₂ * b₁) / (b₁ * b₂).
A diferença de dois números racionais r₁ = a₁/b₁ e r₂ = a₂/b₂ é r₁ - r₂ = a₁/b₁ - a₂/b₂ = (a₁ * b₂ - a₂ * b₁) / (b₁ * b₂).
O produto (multiplicação) de dois números racionais r₁ = a₁/b₁ e r₂ = a₂/b₂ é r₁ * r₂ = (a₁ * a₂) / (b₁ * b₂).
Dividir um número racional r₁ = a₁/b₁ por outro r₂ = a₂/b₂ dá r₁ / r₂ = (a₁ * b₂) / (a₂ * b₁) se a₂ não for zero.
Elevar um número racional r = a/b a uma potência inteira não negativa n dá r^n = (a^n)/(b^n).
Elevar um número racional r = a/b a uma potência inteira negativa n dá r^n = (b^m)/(a^m), onde m = |n|.
Elevar um número racional r = a/b a um número real (de ponto flutuante) x dá o quociente (a^x)/(b^x), que é um número real.
Elevar um número real x a um número racional r = a/b dá x^(a/b) = root(x^a, b), onde root(p, q) é a raiz q-ésima de p.
Implemente as seguintes operações:
- adição, subtração, multiplicação e divisão de dois números racionais,
- valor absoluto, exponenciação de um número racional dado a uma potência inteira, exponenciação de um número racional dado a uma potência real (de ponto flutuante), exponenciação de um número real a um número racional.
Sua implementação de números racionais deve estar sempre reduzida à forma mais simples.
Por exemplo, 4/4 deve ser reduzido a 1/1, 30/60 deve ser reduzido a 1/2, 12/8 deve ser reduzido a 3/2, etc.
Para reduzir um número racional r = a/b, divida a e b pelo máximo divisor comum (mdc) de a e b.
Então, por exemplo, gcd(12, 8) = 4, logo r = 12/8 pode ser reduzido a (12/4)/(8/4) = 3/2.
A forma reduzida de um número racional deve estar na "forma padrão" (o denominador deve ser sempre um inteiro positivo).
Se houver um denominador com um inteiro negativo, multiplique o numerador e o denominador por -1 para garantir que a forma padrão seja alcançada.
Por exemplo, 3/-4 deve ser reduzido a -3/4
Considere que a linguagem de programação que você está usando não tem uma implementação de números racionais.
A exponenciação de números racionais por um número real exige calcular um número elevado a um expoente não inteiro, algo que não está disponível nativamente no WebAssembly.
No entanto, você também pode expressar x ^ y como x ^ y = exp(y * ln(x)).
E, felizmente, é possível usar séries diferentes para calcular a exponencial e o logaritmo natural.
Função exponencial
A melhor solução para a exponencial é uma série de Taylor:
exp(x) ≃ 1 + x + x ^ 2 / 2! + x ^ 3 / 3! + x ^ 4 / 4! + ... + x ^ n / n!
Função logaritmo (para x positivo)
Existem várias formas de calcular um logaritmo natural com eficiência. Uma delas é uma série baseada na tangente hiperbólica inversa:
ln(x) / 2 ≃ y + y ^ 3 / 3 + y ^ 5 / 5 + ... + y ^ n / n where y = (x - 1) / (x + 1)
Há também outra série de Taylor para calcular o logaritmo natural:
ln(x) = (x - 1) - (x - 1) ^ 2 / 2 + (x - 1) ^ 3 / 3 - (x - 1) ^ 4 / 4 ... + (x - 1) ^ n / n
Ela só é precisa para x entre 0 e 2. Porém, também podemos usar ln(x) = - ln(1 / x)
Para a exponenciação com expoentes inteiros, é melhor usar multiplicação e um laço ou recursão, tanto por questões de desempenho quanto de precisão. Para um desempenho extra, é possível usar o método de Horner para reduzir o número de multiplicações.
