複數

說明

複數表示為 z = a + b * i 的形式，其中：

• a是實部（一個實數），

• b是虛部（同樣是一個實數），

• i是滿足i^2 = -1的虛數單位。

複數的運算

共軛

複數z = a + b * i的共軛為：

zc = a - b * i

絕對值

z的絕對值（或模）定義為：

|z| = sqrt(a^2 + b^2)

絕對值的平方，等於z與其共軛zc的乘積：

|z|^2 = z * zc = a^2 + b^2

加法

兩個複數z1 = a + b * i與z2 = c + d * i的和，就是把各自的實部與虛部分別相加：

z1 + z2 = (a + b * i) + (c + d * i)
        = (a + c) + (b + d) * i

減法

兩個複數的差，就是把對應的部分相減：

z1 - z2 = (a + b * i) - (c + d * i)
        = (a - c) + (b - d) * i

乘法

兩個複數的乘積定義為：

z1 * z2 = (a + b * i) * (c + d * i)
        = (a * c - b * d) + (b * c + a * d) * i

倒數

非零複數的倒數為：

1 / z = 1 / (a + b * i)
      = a / (a^2 + b^2) - b / (a^2 + b^2) * i

除法

一個複數除以另一個複數的結果為：

z1 / z2 = z1 * (1 / z2)
        = (a + b * i) / (c + d * i)
        = (a * c + b * d) / (c^2 + d^2) + (b * c - a * d) / (c^2 + d^2) * i

指數運算

將 e（自然對數的底數）取複數次方，可以用歐拉公式表示：

e^(a + b * i) = e^a * e^(b * i)
              = e^a * (cos(b) + i * sin(b))

實作要求

由於不能使用內建的複數支援，請實作下列運算：

• 兩個複數的加法
• 兩個複數的減法
• 兩個複數的乘法
• 兩個複數的除法
• 複數的共軛
• 複數的絕對值
• 將 e（自然對數的底數）取複數次方的指數運算

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出處

Wikipedia