關於 複數
Complex numbers其實一點也不複雜。
它們只是需要一個不那麼嚇人的名字。
它們非常實用，尤其在工程和科學領域，所以 Python 把 complex 納入標準數值型態，與整數（ints）和浮點數（floats）並列。
基礎
Python 中的 complex 值本質上是一對浮點數。
因為一些不幸的歷史原因，它們被稱為「實部」和「虛部」。
同樣地，最好把重點放在背後簡單的概念上，而不是那些奇怪的名字。
建立複數有兩種常見方法。
1）complex(real, imag) 建構函式接受兩個 float 參數：
>>> z1 = complex(1.5, 2.0)
>>> z1
(1.5+2j)
建構函式也能解析字串輸入。
這有個奇怪的限制：只要字串裡含有空格就會失敗。
>>> complex('4+2j')
(4+2j)
>>> complex('4 + 2j')
Traceback (most recent call last):
File "<stdin>", line 1, in <module>
ValueError: complex() arg is a malformed string
2）複數也可以用 <real part> + <complex part>j 字面值來指定；如果實部為零，也可以只寫 <complex part>j：
>>> z2 = 2.0 + 1.5j
>>> z2
(2+1.5j)
最終結果和使用 complex() 建構函式完全相同。
關於複數的虛部，有兩條規則：
>>> j
Traceback (most recent call last):
File "<stdin>", line 1, in <module>
NameError: name 'j' is not defined
>>> 1j
1j
>>> type(1j)
<class 'complex'>
大多數工程師都樂於使用 j。
大多數科學家和數學家偏好以數學記號 i 表示 虛數，但這個記號和電機工程中代表 電流 的 i 衝突。
所以在設計 Python 時，電機工程師勝出了。
若要個別存取複數的各個部分：
>>> z2.real
2.0
>>> z2.imag
1.5
任一部分都可以是零，數學家可能會因此說這個數是「純實數」或「純虛數」。
不過在 Python 裡，它仍然是一個複數：
>>> complex(0, 1)
1j
>>> type(complex(0, 1))
<class 'complex'>
>>> complex(1, 0)
(1+0j)
你可能聽過「i（或 j）是 -1 的平方根」。
目前，這只代表虛部_依定義_滿足以下等式
1j * 1j == -1 # => True
這是個簡單的概念，卻會帶來有趣的結果。
算術
大部分用在浮點數和整數上的 operators 也適用於複數：
>>> z1 = (1.5+2j)
>>> z2 = (2+1.5j)
>>> z1 + z2 # addition
(3.5+3.5j)
>>> z1 - z2 # subtraction
(-0.5+0.5j)
>>> z1 * z2 # multiplication
6.25j
>>> z1 / z2 # division
(0.96+0.28j)
>>> z1 ** 2 # exponentiation
(-1.75+6j)
>>> 2 ** z1 # another exponentiation
(0.5188946835878313+2.7804223253571183j)
>>> 1j ** 2 # j * j == -1
(-1+0j)
解釋複數乘法和除法的規則超出了本概念的範圍（而且你不太可能需要經常「手算」這些運算）。
如果你想深入這個主題，任何關於複數的數學或電機工程入門介紹都會涵蓋這些內容。
或者，Exercism 有一個 Complex Numbers 練習，讓你從基本原理出發，用這些運算自行實作一個複數類別。
複數___不能___做整數除法，所以 // 和 % 運算子以及 divmod() 函式在複數型態上都會失敗。
有兩個為數值型態實作的函式，在處理複數時非常實用：
-
<complex number>.conjugate() 只是把複數虛部的正負號反轉（從 + 變成 -，或反過來）。
-
abs(<complex number>) 保證會回傳一個沒有虛部的實數。
>>> z1
(1.5+2j)
>>> z1.conjugate() # flip the z1.imag sign
(1.5-2j)
>>> abs(z1) # sqrt(z1.real ** 2 + z1.imag ** 2)
2.5
cmath 模組
Python 標準函式庫有一個 math 模組，裡面滿是處理實數的實用功能。
它也有對應的 cmath 模組，用來處理複數。
我們鼓勵你瀏覽這個模組並動手實驗，不過主要的類別有：
- 直角座標與極座標之間的轉換，
- 指數與對數函式，
- 三角函式，
- 雙曲函式，
- 分類函式，以及
- 實用的常數。
以下是使用一些常數的範例：
>>> import cmath
>>> euler = cmath.exp(1j * cmath.pi) # Euler's equation
>>> euler.real
-1.0
>>> round(euler.imag, 15) # round to 15 decimal places
0.0
所以一個含有自然界三個最重要常數 e、i（或 j）和 pi 的簡單運算式，會得到結果 -1。
有些人相信這是整個數學中最美的結果。
它可追溯到 1740 年左右。
選讀章節：複數常見問答
除非你有興趣，否則可以跳過這個部分。
這不是某種奇怪又新穎的純數學嗎？
在 16 世紀，它確實又奇怪又新穎。
500 年後，它已成為大多數工程和自然科學的核心。
為什麼會有人用這些東西？
事實證明，複數是描述任何會旋轉的事物、或任何具有波動性質的事物最簡單的方法。
所以它們廣泛應用於電機工程、音訊處理、物理、電腦遊戲和導航等等，這裡只舉了其中幾個應用。
你能看見事物在旋轉。
複數或許不能讓世界運轉，但它們很擅長解釋世界運轉所帶來的_種種現象_：看看任何一張大型風暴的衛星影像就知道了。
沒那麼顯而易見的是，聲音具有波動性，光具有波動性，無線電訊號具有波動性，甚至你國家的經濟至少也有一部分具有波動性。
許多這類波動處理可以用三角函式（sin() 和 cos()）完成，但很快就會變得一團亂。
複數指數處理起來___容易得多___。
但我又不需要複數！
只有當你住在洞穴裡、靠採集食物為生時，這句話才成立。
如果你正在任何一種螢幕上閱讀這段文字，你就完全依賴著 20 世紀透過複數所帶來的一些實用進展。
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半導體晶片。
- 這些在古典物理中毫無意義，只能用量子力學（QM）來解釋（和設計）。
- 在量子力學中，萬物依定義都是複數值。（一路往下都是波形）
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快速傅立葉轉換（FFT）演算法。
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FFT 是複數的一種應用，而且它存在於與聲音傳輸、音訊處理、照片和影片有關的_一切_之中。
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MP3 和其他音訊格式使用 FFT 進行壓縮，讓更多音訊能塞進更小的儲存空間。
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JPEG 壓縮和 MP4 影片，以及許多其他影像和視訊格式，也使用 FTT 進行壓縮。
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FFT 也部署在數位濾波器中，讓手機基地台能把你的個人行動訊號與其他人的分開。
所以，你很可能正在使用每秒依賴複數運算數千次的技術。
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