Anleitung
Eine komplexe Zahl wird in der Form z = a + b * i ausgedrückt, wobei:
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a der Realteil ist (eine reelle Zahl),
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b der Imaginärteil ist (ebenfalls eine reelle Zahl), und
-
i die imaginäre Einheit ist, für die i^2 = -1 gilt.
Operationen mit komplexen Zahlen
Konjugierte
Die Konjugierte der komplexen Zahl z = a + b * i ist gegeben durch:
zc = a - b * i
Betrag
Der Betrag (oder Modul) von z ist definiert als:
|z| = sqrt(a^2 + b^2)
Das Quadrat des Betrags wird als Produkt von z und seiner Konjugierten zc berechnet:
|z|^2 = z * zc = a^2 + b^2
Addition
Die Summe zweier komplexer Zahlen z1 = a + b * i und z2 = c + d * i berechnest du, indem du ihre Real- und Imaginärteile getrennt addierst:
z1 + z2 = (a + b * i) + (c + d * i)
= (a + c) + (b + d) * i
Subtraktion
Die Differenz zweier komplexer Zahlen erhältst du, indem du die jeweiligen Teile subtrahierst:
z1 - z2 = (a + b * i) - (c + d * i)
= (a - c) + (b - d) * i
Multiplikation
Das Produkt zweier komplexer Zahlen ist definiert als:
z1 * z2 = (a + b * i) * (c + d * i)
= (a * c - b * d) + (b * c + a * d) * i
Kehrwert
Für den Kehrwert einer komplexen Zahl ungleich null gilt:
1 / z = 1 / (a + b * i)
= a / (a^2 + b^2) - b / (a^2 + b^2) * i
Division
Für die Division einer komplexen Zahl durch eine andere gilt:
z1 / z2 = z1 * (1 / z2)
= (a + b * i) / (c + d * i)
= (a * c + b * d) / (c^2 + d^2) + (b * c - a * d) / (c^2 + d^2) * i
Potenzierung
Potenziert man e (die Basis des natürlichen Logarithmus) mit einem komplexen Exponenten, lässt sich das mit der eulerschen Formel ausdrücken:
e^(a + b * i) = e^a * e^(b * i)
= e^a * (cos(b) + i * sin(b))
Anforderungen an die Implementierung
Da du keine eingebaute Unterstützung für komplexe Zahlen verwenden sollst, implementiere die folgenden Operationen:
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Addition zweier komplexer Zahlen
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Subtraktion zweier komplexer Zahlen
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Multiplikation zweier komplexer Zahlen
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Division zweier komplexer Zahlen
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Konjugierte einer komplexen Zahl
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Betrag einer komplexen Zahl
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Potenzierung von e (der Basis des natürlichen Logarithmus) mit einer komplexen Zahl
Einen numerischen Typ erstellen
Hilfe zum Überladen und Anpassen von Operatoren findest du unter Numerische Typen emulieren.
