Komplexe Zahlen

Anleitung

Eine komplexe Zahl wird in der Form z = a + b * i ausgedrückt, wobei:

• a der Realteil ist (eine reelle Zahl),

• b der Imaginärteil ist (ebenfalls eine reelle Zahl), und

• i die imaginäre Einheit ist, für die i^2 = -1 gilt.

Operationen mit komplexen Zahlen

Konjugierte

Die Konjugierte der komplexen Zahl z = a + b * i ist gegeben durch:

zc = a - b * i

Betrag

Der Betrag (oder Modul) von z ist definiert als:

|z| = sqrt(a^2 + b^2)

Das Quadrat des Betrags wird als Produkt von z und seiner Konjugierten zc berechnet:

|z|^2 = z * zc = a^2 + b^2

Addition

Die Summe zweier komplexer Zahlen z1 = a + b * i und z2 = c + d * i berechnest du, indem du ihre Real- und Imaginärteile getrennt addierst:

z1 + z2 = (a + b * i) + (c + d * i)
        = (a + c) + (b + d) * i

Subtraktion

Die Differenz zweier komplexer Zahlen erhältst du, indem du die jeweiligen Teile subtrahierst:

z1 - z2 = (a + b * i) - (c + d * i)
        = (a - c) + (b - d) * i

Multiplikation

Das Produkt zweier komplexer Zahlen ist definiert als:

z1 * z2 = (a + b * i) * (c + d * i)
        = (a * c - b * d) + (b * c + a * d) * i

Kehrwert

Für den Kehrwert einer komplexen Zahl ungleich null gilt:

1 / z = 1 / (a + b * i)
      = a / (a^2 + b^2) - b / (a^2 + b^2) * i

Division

Für die Division einer komplexen Zahl durch eine andere gilt:

z1 / z2 = z1 * (1 / z2)
        = (a + b * i) / (c + d * i)
        = (a * c + b * d) / (c^2 + d^2) + (b * c - a * d) / (c^2 + d^2) * i

Potenzierung

Potenziert man e (die Basis des natürlichen Logarithmus) mit einem komplexen Exponenten, lässt sich das mit der eulerschen Formel ausdrücken:

e^(a + b * i) = e^a * e^(b * i)
              = e^a * (cos(b) + i * sin(b))

Anforderungen an die Implementierung

Da du keine eingebaute Unterstützung für komplexe Zahlen verwenden sollst, implementiere die folgenden Operationen:

• Addition zweier komplexer Zahlen
• Subtraktion zweier komplexer Zahlen
• Multiplikation zweier komplexer Zahlen
• Division zweier komplexer Zahlen
• Konjugierte einer komplexen Zahl
• Betrag einer komplexen Zahl
• Potenzierung von e (der Basis des natürlichen Logarithmus) mit einer komplexen Zahl

Eigene Operatoren

Raku hat eingebaute Unterstützung für komplexe Zahlen¹, daher geht es in dieser Übung eher um das Erstellen eigener Operatoren². Operatoren werden nach ihrer Position relativ zu ihren Operanden klassifiziert. In dieser Übung gibt es vier Typen, nämlich:

• Präfix (davor)
• Infix (dazwischen)
• Zirkumfix (umschließend) und
• Postfix (danach)

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Quelle

Wikipedia