Μιγαδικοί αριθμοί

Οδηγίες

Ένας μιγαδικός αριθμός εκφράζεται με τη μορφή z = a + b * i, όπου:

• το a είναι το πραγματικό μέρος (ένας πραγματικός αριθμός),

• το b είναι το φανταστικό μέρος (επίσης ένας πραγματικός αριθμός), και

• το i είναι η φανταστική μονάδα που ικανοποιεί τη σχέση i^2 = -1.

Πράξεις με Μιγαδικούς Αριθμούς

Συζυγής

Ο συζυγής του μιγαδικού αριθμού z = a + b * i δίνεται από τη σχέση:

zc = a - b * i

Απόλυτη Τιμή

Η απόλυτη τιμή (ή μέτρο) του z ορίζεται ως:

|z| = sqrt(a^2 + b^2)

Το τετράγωνο της απόλυτης τιμής υπολογίζεται ως το γινόμενο του z και του συζυγούς του zc:

|z|^2 = z * zc = a^2 + b^2

Πρόσθεση

Το άθροισμα δύο μιγαδικών αριθμών z1 = a + b * i και z2 = c + d * i υπολογίζεται προσθέτοντας χωριστά τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη τους:

z1 + z2 = (a + b * i) + (c + d * i)
        = (a + c) + (b + d) * i

Αφαίρεση

Η διαφορά δύο μιγαδικών αριθμών προκύπτει αφαιρώντας τα αντίστοιχα μέρη τους:

z1 - z2 = (a + b * i) - (c + d * i)
        = (a - c) + (b - d) * i

Πολλαπλασιασμός

Το γινόμενο δύο μιγαδικών αριθμών ορίζεται ως:

z1 * z2 = (a + b * i) * (c + d * i)
        = (a * c - b * d) + (b * c + a * d) * i

Αντίστροφος

Ο αντίστροφος ενός μη μηδενικού μιγαδικού αριθμού δίνεται από τη σχέση:

1 / z = 1 / (a + b * i)
      = a / (a^2 + b^2) - b / (a^2 + b^2) * i

Διαίρεση

Η διαίρεση ενός μιγαδικού αριθμού με έναν άλλον δίνεται από τη σχέση:

z1 / z2 = z1 * (1 / z2)
        = (a + b * i) / (c + d * i)
        = (a * c + b * d) / (c^2 + d^2) + (b * c - a * d) / (c^2 + d^2) * i

Ύψωση σε Δύναμη

Η ύψωση του e (της βάσης του φυσικού λογάριθμου) σε μιγαδικό εκθέτη μπορεί να εκφραστεί με τον τύπο του Euler:

e^(a + b * i) = e^a * e^(b * i)
              = e^a * (cos(b) + i * sin(b))

Απαιτήσεις Υλοποίησης

Δεδομένου ότι δεν πρέπει να χρησιμοποιήσεις την ενσωματωμένη υποστήριξη για μιγαδικούς αριθμούς, υλοποίησε τις παρακάτω πράξεις:

• την πρόσθεση δύο μιγαδικών αριθμών
• την αφαίρεση δύο μιγαδικών αριθμών
• τον πολλαπλασιασμό δύο μιγαδικών αριθμών
• τη διαίρεση δύο μιγαδικών αριθμών
• τον συζυγή ενός μιγαδικού αριθμού
• την απόλυτη τιμή ενός μιγαδικού αριθμού
• την ύψωση σε δύναμη του e (της βάσης του φυσικού λογάριθμου) σε μιγαδικό αριθμό

Παράρτημα

Για αυτή την άσκηση στο track Clojure, δεν χρειάζεται να υλοποιήσεις την πράξη της ύψωσης σε δύναμη.

---

Πηγή

Wikipedia