الأعداد المركبة

التعليمات

يُعبَّر عن العدد المركب بالصيغة z = a + b * i، حيث:

• a هو الجزء الحقيقي (عدد حقيقي)،

• b هو الجزء التخيلي (وهو أيضًا عدد حقيقي)، و

• i هي الوحدة التخيلية التي تحقق i^2 = -1.

العمليات على الأعداد المركبة

المرافق

يُعطى مرافق العدد المركب z = a + b * i بالعلاقة:

zc = a - b * i

القيمة المطلقة

تُعرَّف القيمة المطلقة (أو المقياس) للعدد z بأنها:

|z| = sqrt(a^2 + b^2)

ويُحسب مربع القيمة المطلقة على أنه حاصل ضرب z في مرافقه zc:

|z|^2 = z * zc = a^2 + b^2

الجمع

يُحسب مجموع العددين المركبين z1 = a + b * i وz2 = c + d * i بجمع جزأيهما الحقيقي والتخيلي كلًّا على حدة:

z1 + z2 = (a + b * i) + (c + d * i)
        = (a + c) + (b + d) * i

الطرح

يُحصل على الفرق بين عددين مركبين بطرح الجزأين المتناظرين من كل منهما:

z1 - z2 = (a + b * i) - (c + d * i)
        = (a - c) + (b - d) * i

الضرب

يُعرَّف حاصل ضرب عددين مركبين بأنه:

z1 * z2 = (a + b * i) * (c + d * i)
        = (a * c - b * d) + (b * c + a * d) * i

المقلوب

يُعطى مقلوب عدد مركب لا يساوي صفرًا بالعلاقة:

1 / z = 1 / (a + b * i)
      = a / (a^2 + b^2) - b / (a^2 + b^2) * i

القسمة

تُعطى قسمة عدد مركب على آخر بالعلاقة:

z1 / z2 = z1 * (1 / z2)
        = (a + b * i) / (c + d * i)
        = (a * c + b * d) / (c^2 + d^2) + (b * c - a * d) / (c^2 + d^2) * i

الرفع إلى قوة

يمكن التعبير عن رفع e (أساس اللوغاريتم الطبيعي) إلى أس مركب باستخدام صيغة أويلر:

e^(a + b * i) = e^a * e^(b * i)
              = e^a * (cos(b) + i * sin(b))

متطلبات التنفيذ

بما أنه لا ينبغي لك استخدام الدعم المدمج للأعداد المركبة، فنفّذ العمليات التالية:

• الجمع لعددين مركبين
• الطرح لعددين مركبين
• الضرب لعددين مركبين
• القسمة لعددين مركبين
• المرافق لعدد مركب
• القيمة المطلقة لعدد مركب
• رفع e (أساس اللوغاريتم الطبيعي) إلى قوة عدد مركب

---

المصدر

ويكيبيديا