Anleitung
Eine komplexe Zahl wird in der Form z = a + b * i ausgedrückt, wobei:
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a der Realteil ist (eine reelle Zahl),
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b der Imaginärteil ist (ebenfalls eine reelle Zahl), und
-
i die imaginäre Einheit ist, für die i^2 = -1 gilt.
Operationen mit komplexen Zahlen
Konjugierte
Die Konjugierte der komplexen Zahl z = a + b * i ist gegeben durch:
zc = a - b * i
Betrag
Der Betrag (oder Modul) von z ist definiert als:
|z| = sqrt(a^2 + b^2)
Das Quadrat des Betrags wird als Produkt von z und seiner Konjugierten zc berechnet:
|z|^2 = z * zc = a^2 + b^2
Addition
Die Summe zweier komplexer Zahlen z1 = a + b * i und z2 = c + d * i berechnest du, indem du ihre Real- und Imaginärteile getrennt addierst:
z1 + z2 = (a + b * i) + (c + d * i)
= (a + c) + (b + d) * i
Subtraktion
Die Differenz zweier komplexer Zahlen erhältst du, indem du die jeweiligen Teile subtrahierst:
z1 - z2 = (a + b * i) - (c + d * i)
= (a - c) + (b - d) * i
Multiplikation
Das Produkt zweier komplexer Zahlen ist definiert als:
z1 * z2 = (a + b * i) * (c + d * i)
= (a * c - b * d) + (b * c + a * d) * i
Kehrwert
Für den Kehrwert einer komplexen Zahl ungleich null gilt:
1 / z = 1 / (a + b * i)
= a / (a^2 + b^2) - b / (a^2 + b^2) * i
Division
Für die Division einer komplexen Zahl durch eine andere gilt:
z1 / z2 = z1 * (1 / z2)
= (a + b * i) / (c + d * i)
= (a * c + b * d) / (c^2 + d^2) + (b * c - a * d) / (c^2 + d^2) * i
Potenzierung
Potenziert man e (die Basis des natürlichen Logarithmus) mit einem komplexen Exponenten, lässt sich das mit der eulerschen Formel ausdrücken:
e^(a + b * i) = e^a * e^(b * i)
= e^a * (cos(b) + i * sin(b))
Anforderungen an die Implementierung
Da du keine eingebaute Unterstützung für komplexe Zahlen verwenden sollst, implementiere die folgenden Operationen:
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Addition zweier komplexer Zahlen
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Subtraktion zweier komplexer Zahlen
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Multiplikation zweier komplexer Zahlen
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Division zweier komplexer Zahlen
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Konjugierte einer komplexen Zahl
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Betrag einer komplexen Zahl
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Potenzierung von e (der Basis des natürlichen Logarithmus) mit einer komplexen Zahl
Track-spezifische Anweisungen
Für das Objekt ComplexNumber musst du einen eigenen Gleichheitsoperator implementieren.
Das bringt die Herausforderung mit sich, zwei Gleitkommazahlen zu vergleichen.
Nützlich sein könnte die Methode isApproximatelyEqual(to:absoluteTolerance:) aus der Bibliothek Numerics.
Aus Performance-Gründen hast du nur Zugriff auf den RealModule-Teil.
Um es zu importieren, schreibst du einfach import RealModule an den Anfang der Datei.
Eine Toleranz von 0.00001 sollte ausreichen, um die Tests zu bestehen.
Die Bibliothek ist bereits im Projekt importiert, du musst sie also nur noch in deine Datei importieren.
Es steht dir auch frei, deine eigene Methode zu implementieren, um die beiden komplexen Zahlen zu vergleichen.
