پای پایپر

factorial : Int -> Int
factorial n =
  if n <= 1 then
    n
  else
    n * factorial (n-1)

factorial : Int -> Int
factorial n =
  factorialHelper n n

factorialHelper : Int -> Int -> Int
factorialHelper n resultSoFar =
  if n <= 1 then
    resultSoFar
  else
    factorialHelper (n-1) (n * resultSoFar)

دستورالعمل‌ها

پیپر پای‌پز پرشوری است.

هیچ‌کس نمی‌داند او پای‌پزی را به خاطر اسمش انتخاب کرده یا اسمش را برای هماهنگی با سرگرمی‌اش عوض کرده است. در نگاه اول، مورد دوم چندان محتمل به نظر نمی‌رسد، اما ببینید، پیپر به‌شدت شیفته‌ی پای است. او همیشه در آشپزخانه ور می‌رود، دستورهای پختش را دستکاری می‌کند و مهارتش را بهبود می‌بخشد، و همین باعث خوشحالی فراوان دوستانش است.

آخرین علاقه‌اش؟ پختن پای‌هایی که تا حد ممکن گرد باشند، تا مرز کمال ریاضی، با کمک عدد محبوبش، حدس زدید: π.

پیپر فرمول دلپذیری برای محاسبه‌ی π به‌صورت تکراری پیدا کرده است، به اسم تبدیل همگرایی نیوتون/اویلر:

π / 2 = sum for k from 0 to infinity of ( k! ) / ( 2 * k + 1 )!!

به پیپر کمک کنید تا پای بی‌نقص ریاضی‌اش را با محاسبه‌ی π بپزد.

1. فاکتوریل

اول کمی گرم کنیم. عملگر فاکتوریل، که معمولاً با ! نوشته می‌شود، این‌گونه تعریف می‌شود:

0! = 1
n! = 1 * 2 * 3 * ... * n

تابع factorial را تعریف کنید که فاکتوریل را به‌صورت «بازگشتی دنباله‌ای» محاسبه کند.

factorial 4
    -- 24

2. فاکتوریل دوگانه

عملگر فاکتوریل دوگانه، که معمولاً با !! نوشته می‌شود، این‌گونه تعریف می‌شود:

0!! = 1
n!! = 1 * 3 * 5 * ... * n (for odd n)
n!! = 2 * 4 * 6 * ... * n (for even n)

تابع doubleFactorial را تعریف کنید که فاکتوریل را به‌صورت بازگشتی دنباله‌ای محاسبه کند.

factorial 5
    -- 15
factorial 6
    -- 48

3. تبدیل همگرایی نیوتون/اویلر

تابع pipersPi را تعریف کنید که π را با استفاده از تعداد مشخصی جمله از فرمول تبدیل همگرایی نیوتون/اویلر، به‌صورت بازگشتی دنباله‌ای تقریب می‌زند.

π / 2 = sum for k from 0 to infinity of ( k! ) / ( 2 * k + 1 )!!

بیایید جمله‌ی اول را با هم حساب کنیم. برای حد بالای 0 (به جای بی‌نهایت)، به این نتیجه می‌رسیم:

π / 2 ≈ Sum for k from 0 to 0 of ( k! ) / ( 2 * k + 1 )!!
π / 2 ≈ ( 0! ) / ( 2 * 0 + 1 )!!
π / 2 ≈ 0! / 0!!
π / 2 ≈ 1 / 1
π / 2 ≈ 1
π ≈ 2

هر جمله‌ی اضافه تقریب را بهتر می‌کند.

pipersPi 0
    -- 2.0
pipersPi 1
    -- 2.6666666