パイパーのパイ

factorial : Int -> Int
factorial n =
  if n <= 1 then
    n
  else
    n * factorial (n-1)

factorial : Int -> Int
factorial n =
  factorialHelper n n

factorialHelper : Int -> Int -> Int
factorialHelper n resultSoFar =
  if n <= 1 then
    resultSoFar
  else
    factorialHelper (n-1) (n * resultSoFar)

説明

パイパーは、パイ作りが大好きです。

彼女が名前がきっかけでパイ作りを始めたのか、それとも趣味に合わせて名前を変えたのかは、誰にもわかりません。 一見すると、後者の可能性は低そうに思えますが、実はパイパーはパイにすっかり魅了されているんです。 彼女はいつもキッチンで工夫を重ね、レシピを調整し、腕を磨いていて、友人たちを心から喜ばせています。

彼女が最近夢中になっているもの？ それは、できるだけ円に近い、数学的に完璧なパイを焼くこと。そのために頼りにしているのが、彼女の大好きな数、そう、πです。

パイパーは、πを繰り返し計算で求める素敵な公式を見つけました。それがニュートン・オイラー収束変換です。

π / 2 = sum for k from 0 to infinity of ( k! ) / ( 2 * k + 1 )!!

πを計算して、パイパーが数学的に完璧なパイを焼くのを手伝いましょう。

1. 階乗

まずはウォーミングアップです。 階乗演算子は、ふつう!と書きます。その定義は次のとおりです。

0! = 1
n! = 1 * 2 * 3 * ... * n

factorial関数を定義して、階乗を末尾再帰で計算できるようにしましょう。

factorial 4
    -- 24

2. 二重階乗

二重階乗演算子は、ふつう!!と書きます。その定義は次のとおりです。

0!! = 1
n!! = 1 * 3 * 5 * ... * n (for odd n)
n!! = 2 * 4 * 6 * ... * n (for even n)

doubleFactorial関数を定義して、階乗を末尾再帰で計算できるようにしましょう。

factorial 5
    -- 15
factorial 6
    -- 48

3. ニュートン・オイラー収束変換

pipersPi関数を定義しましょう。これは、ニュートン・オイラー収束変換の公式から指定された項数を使って、πを末尾再帰で近似します。

π / 2 = sum for k from 0 to infinity of ( k! ) / ( 2 * k + 1 )!!

まずは最初の項を一緒に計算してみましょう。 上限を（無限大ではなく）0にすると、次のようになります。

π / 2 ≈ Sum for k from 0 to 0 of ( k! ) / ( 2 * k + 1 )!!
π / 2 ≈ ( 0! ) / ( 2 * 0 + 1 )!!
π / 2 ≈ 0! / 0!!
π / 2 ≈ 1 / 1
π / 2 ≈ 1
π ≈ 2

項を1つ増やすごとに、近似の精度が上がります。

pipersPi 0
    -- 2.0
pipersPi 1
    -- 2.6666666