पाइपर की पाई

factorial : Int -> Int
factorial n =
  if n <= 1 then
    n
  else
    n * factorial (n-1)

factorial : Int -> Int
factorial n =
  factorialHelper n n

factorialHelper : Int -> Int -> Int
factorialHelper n resultSoFar =
  if n <= 1 then
    resultSoFar
  else
    factorialHelper (n-1) (n * resultSoFar)

निर्देश

पाइपर को पाई बनाने का बहुत शौक है।

किसी को नहीं पता कि उसने पाई बनाना अपने नाम की वजह से चुना, या पाई बनाने के अपने शौक से मेल खाने के लिए उसने अपना नाम बदल लिया। पहली नज़र में दूसरी बात बहुत संभव नहीं लगती, लेकिन मामला यह है कि पाइपर को पाई बहुत पसंद हैं। वह हमेशा रसोई में कुछ न कुछ बदलती रहती है, अपनी रेसिपी में फेरबदल करती रहती है और अपना हुनर सुधारती रहती है। उसके दोस्तों को इससे बहुत खुशी होती है।

अब उसकी नई रुचि क्या है? जितनी संभव हो उतनी गोल पाई बनाना, गणितीय पूर्णता की हद तक, अपनी पसंदीदा संख्या की मदद से, और वह संख्या है: π।

पाइपर को बार-बार चरण दोहराकर π की गणना करने का एक बहुत प्यारा सूत्र मिला, न्यूटन/यूलर कन्वर्जेंस ट्रांसफॉर्मेशन:

π / 2 = sum for k from 0 to infinity of ( k! ) / ( 2 * k + 1 )!!

π की गणना करके पाइपर को उसकी गणितीय रूप से परिपूर्ण पाई बनाने में मदद कीजिए।

1. फैक्टोरियल

चलिए पहले थोड़ी तैयारी कर लें। फैक्टोरियल ऑपरेटर, जिसे आमतौर पर ! लिखा जाता है, इस तरह परिभाषित किया जाता है:

0! = 1
n! = 1 * 2 * 3 * ... * n

factorial फंक्शन बनाइए, जो फैक्टोरियल की गणना टेल रिकर्सिव तरीके से करेगा।

factorial 4
    -- 24

2. डबल फैक्टोरियल

डबल फैक्टोरियल ऑपरेटर, जिसे आमतौर पर !! लिखा जाता है, इस तरह परिभाषित किया जाता है:

0!! = 1
n!! = 1 * 3 * 5 * ... * n (for odd n)
n!! = 2 * 4 * 6 * ... * n (for even n)

doubleFactorial फंक्शन बनाइए, जो फैक्टोरियल की गणना टेल रिकर्सिव तरीके से करेगा।

factorial 5
    -- 15
factorial 6
    -- 48

3. न्यूटन/यूलर कन्वर्जेंस ट्रांसफॉर्मेशन

pipersPi फंक्शन बनाइए, जो न्यूटन/यूलर कन्वर्जेंस ट्रांसफॉर्मेशन सूत्र से तय संख्या में टर्म लेकर टेल रिकर्सिव तरीके से π का अनुमान लगाएगा।

π / 2 = sum for k from 0 to infinity of ( k! ) / ( 2 * k + 1 )!!

चलिए पहला टर्म मिलकर निकालते हैं। अनंत की जगह 0 की ऊपरी सीमा लेने पर हमें यह मिलता है:

π / 2 ≈ Sum for k from 0 to 0 of ( k! ) / ( 2 * k + 1 )!!
π / 2 ≈ ( 0! ) / ( 2 * 0 + 1 )!!
π / 2 ≈ 0! / 0!!
π / 2 ≈ 1 / 1
π / 2 ≈ 1
π ≈ 2

हर अतिरिक्त टर्म अनुमान को और बेहतर बनाएगा।

pipersPi 0
    -- 2.0
pipersPi 1
    -- 2.6666666