تاکسی کلاغ

2+3i
#> [1] 2+3i

typeof(2+3i)
#> [1] "complex"

r <- 2
im <- 3

r + im * 1i
#> [1] 2+3i

# must include the `real` and `imaginary` keywords
complex(real = r, imaginary = im)
#> [1] 2+3i

z <- 2+3i

Re(z)  # real part
#> [1] 2

Im(z)  # imaginary part
#> [1] 3

1.2 + 0i
#> [1] 1.2+0i

typeof(1.2 + 0i)
#> [1] "complex"

2i
#> [1] 0+2i

typeof(2i)
#> [1] "complex"

1i * 1i == -1  # more precisely, 1i * 1i == -1 + 0i
#> [1] TRUE

z1 = 1.5 + 2i
z2 = 2 + 1.5i

z1 + z2  # addition
#> [1] 3.5+3.5i

z1 * z2  # multiplication
#> [1] 0+6.25i

z1 / z2  # division
#> [1] 0.96+0.28i

z1^2  # exponentiation
#> [1] -1.75+6i

2^z1  # another exponentiation
#> [1] 0.518895+2.780422i

z1
#> [1] 1.5+2i

abs(z1)
#> [1] 2.5

Mod(z1)  # same as previous
#> [1] 2.5

Conj(z1)  # flip sign
#> [1] 1.5-2i

Arg(z1)
#> [1] 0.9272952

دستورالعمل‌ها

شما به‌تازگی در یک سرویس تاکسی جدید استخدام شده‌اید که تلاش می‌کند خود را از سایر گزینه‌های موجود در بازاری اشباع‌شده متمایز کند. برای رسیدن به این هدف، مدیرعامل تصمیم گرفته است در منهتن خدماتی فوق‌لوکس ارائه دهد، با متصدیانی در هر چهارراه که پیش و پس از سفر به مشتریان کمک کنند. حالا باید کدی بنویسید که به عملیات این سرویس کمک کند.

1. عدد مختلط ساده

مدیرعامل شما تشخیص داده است که چون چیدمان خیابان‌های منهتن عمدتاً شبکه‌ای است، اعداد مختلط روشی راحت برای نمایش تقاطع‌های خیابان‌ها هستند. در این روش، اعداد حقیقی مثبت و منفی به‌ترتیب نماینده‌ی شرق و غرب هستند و اعداد موهومی مثبت و منفی به‌ترتیب نماینده‌ی شمال و جنوب.

چون ساختن یک عدد مختلط در R کمی، اِ... خاص است، به شما دستور داده شده است تابعی ساده برای عدد مختلط پیاده‌سازی کنید.

تابع simplex(a, b) را پیاده‌سازی کنید که دو عدد صحیح a و b را می‌گیرد. عدد مختلط a+bi را برگردانید.

simplex(1, 1)
#> 1+1i

simplex(-3, 4)
#> -3+4i

2. گرفتن مسیر برای راننده‌ها

وقتی مشتری تقاطع مقصد را بگوید، راننده‌های شما مسیر رسیدن به آنجا را دریافت می‌کنند. این مسیرها در قالب یک عدد مختلط ارائه می‌شوند که بخش حقیقی آن شمار بلوک‌هایی را نشان می‌دهد که باید به شمال/جنوب رفت و بخش موهومی آن فاصله‌ی شرق/غرب را. برای هماهنگی با یک قطب‌نمای متعارف، مدیر پروژه‌ی شما تصمیم گرفته است شمال در جهت موهومی مثبت و جنوب در جهت موهومی منفی باشد. به همین ترتیب، شرق در جهت حقیقی مثبت و غرب در جهت حقیقی منفی است.

تابع driver_directions(start, end) را پیاده‌سازی کنید که مختصات تقاطع شروع (start) و مختصات مقصد پایان (end) را می‌گیرد. یک عدد مختلط برگردانید که نشان می‌دهد راننده باید چند بلوک به شرق/غرب + شمال/جنوب برود.

driver_directions(0+0i, 7+5i)
#> 7+5i

driver_directions(-2+3i, 4-5i)
#> 6-8i

3. محاسبه‌ی فاصله‌ی منهتن

از مشتری برای مسافتی که تاکسی باید طی کند هزینه‌ای گرفته می‌شود. چون منهتن چیدمان خیابانی شبکه‌ای دارد، تاکسی‌ها فقط می‌توانند در همین مسیرها حرکت کنند. این ساختار به معیاری برای فاصله منجر می‌شود که محدود به پیروی از خطوط شبکه است. این فاصله از جمع زدن تعداد خطوط پیموده‌شده یا تعداد تقاطع‌های طی‌شده به‌دست می‌آید (یعنی بدون در نظر گرفتن تقاطع شروع). این معیار معمولاً فاصله‌ی منهتن یا نُرم L1 نامیده می‌شود.

تابع manhattan(start, end) را پیاده‌سازی کنید که تقاطع‌های start و end را می‌گیرد. فاصله‌ی منهتن بین تقاطع‌های start و end را برگردانید.

manhattan(0+0i, 3+4i)
#> 7

manhattan(-2-3i, -1+1i)
#> 5

4. محاسبه‌ی فاصله‌ی «پرواز کلاغ»

مدیرعامل توانست بانک‌های سرمایه‌گذاری را با تأکید بر این نکته همراه کند که این سرویس نه‌تنها فوق‌لوکس است بلکه سبز هم هست، چون از کلاغ‌های آموزش‌دیده استفاده می‌کند تا پیام‌ها را بین متصدیان تقاطع‌ها جابه‌جا کنند (که اطلاعات مربوط به مسافران را برای تجربه‌ای شخصی‌سازی‌شده منتقل می‌کنند). به‌نظر می‌رسد هیچ‌کدام از بانک‌های سرمایه‌گذاری زحمت بررسی دقیق را به خود ندادند تا بفهمند چرا این سرویس دقیقاً دوستدار محیط‌زیست است، یا حتی چه نوع مدیرعاملی از آموزش دادن کلاغ در اوقات فراغتش لذت می‌برد، چون پول سرمایه‌گذاری سرازیر شده است.

هزینه‌ی این سرویس هم بر اساس مسافت طی‌شده محاسبه می‌شود. اما چون کلاغ‌ها می‌توانند پرواز کنند، لازم نیست شبکه‌ی جاده‌ها را دنبال کنند و می‌توانند کوتاه‌ترین مسیر را انتخاب کنند. البته وقتی آسمان‌خراش‌های عظیم وجود دارند این ممکن است درست نباشد، اما مدیرعامل این سرویس را در منهتنِ کانزاس (معروف به «The Little Apple») راه می‌اندازد، جایی که کلاغ‌ها به‌راحتی می‌توانند از روی ساختمان‌های کوتاه پرواز کنند. تقاضای بالقوه برای چنین سرویسی در منهتنِ کانزاس و اینکه عابران محلی درباره‌ی پرواز این همه پرنده بالای سرشان چه حسی خواهند داشت، موضوعی برای روزی دیگر است.

تابع as_crow_flies(start, end) را پیاده‌سازی کنید که تقاطع‌های start و end را می‌گیرد. فاصله‌ی پرواز کلاغ بین آن دو را برگردانید.

as_crow_flies(0+0i, 3+4i)
#> 5

5. گرفتن مسیر برای کلاغ‌ها

مدیرعامل شما کلاغ‌ها را طوری آموزش داده است که از مسیرهایی مشابه مسیرهای راننده‌ها پیروی کنند. اما مدیرعامل عاشق نیم‌کره‌ی جنوبی است و کلاغ‌ها را با قطب‌نمایی متفاوت از آنچه مدیر پروژه‌ی شما برای بقیه‌ی سیستم استفاده می‌کند آموزش داده است. معلوم می‌شود مدیرعامل شما فرد نسبتاً عجیب‌وغریبی است. در قطب‌نمای مدیرعامل، شمال در جهت موهومی منفی و جنوب در جهت موهومی مثبت است. این دقیقاً برعکس جهت‌های شمال/جنوب راننده‌هاست، در حالی که شرق/غرب یکسان می‌ماند.

تابع crows_directions(start, end) را پیاده‌سازی کنید که تقاطع‌های start و end را می‌گیرد. عدد مختلطی مشابه مسیرهای راننده برگردانید، اما با شمال/جنوب جابه‌جاشده.

driver_directions(0+0i, 7+5i)
#> 7-5i

driver_directions(-2+3i, 4-5i)
#> 6+8i