परिचय
मौसम बहुत अच्छा है, और ऐसे में आपका मन एक घंटा क्लासरूम में बिताने का नहीं है।
झुँझलाते हुए आप क्लासरूम में जाते हैं, और वहाँ ब्लैकबोर्ड पर आपकी नज़र एक अजीब तरह से सुकून देने वाली त्रिभुज (triangle) आकृति पर पड़ती है।
अपने गणित के शिक्षक के आने का इंतज़ार करते-करते आपकी नज़र उस त्रिभुज के कुछ पैटर्न पर पड़ जाती है: बाहरी वैल्यू सब 1 होती हैं, हर अगली पंक्ति में उसकी पिछली पंक्ति से एक वैल्यू ज़्यादा होती है, और यह त्रिभुज सममित होता है।
कितनी अजीब बात है!
आपके बैठने के कुछ ही देर बाद आपके शिक्षक कमरे में आते हैं और बताते हैं कि यह वही मशहूर पास्कल का त्रिभुज है।
अगले एक घंटे में आपके शिक्षक उस त्रिभुज में छिपी कुछ अद्भुत बातें बताते हैं:
- इसकी मदद से यह गणना की जा सकती है कि N वैल्यू में से K एलिमेंट कितने तरीकों से चुने जा सकते हैं।
- इसमें फिबोनाची श्रेणी भी मौजूद है।
- अगर आप विषम और सम संख्याओं को अलग-अलग रंगों में रंगें, तो आपको सिएर्पिंस्की त्रिभुज नाम का एक सुंदर पैटर्न मिलता है।
शिक्षक आपसे और आपके सहपाठियों से आग्रह करते हैं कि इसके और भी उपयोग खोजिए, और भरोसा दिलाते हैं कि ऐसे उपयोग अभी बहुत से बाकी हैं!
उसी पल स्कूल की घंटी बज उठती है।
आपको पता चलता है कि पिछले एक घंटे से आप पास्कल के त्रिभुज को सीखने में पूरी तरह डूबे हुए थे।
आप फटाफट अपने बैग से लैपटॉप निकालते हैं और बाहर चले जाते हैं, धूप और पास्कल के त्रिभुज के अद्भुत पहलुओं, दोनों का आनंद लेने के लिए तैयार।
निर्देश
आपको पास्कल के त्रिभुज की पहली N पंक्तियाँ देनी हैं।
पास्कल का त्रिभुज धनात्मक पूर्णांकों का एक त्रिभुजाकार ऐरे है।
पास्कल के त्रिभुज में किसी पंक्ति में वैल्यू की संख्या उस पंक्ति के क्रमांक के बराबर होती है (जो एक से शुरू होता है)।
इसलिए पहली पंक्ति में एक वैल्यू होती है, दूसरी पंक्ति में दो वैल्यू होती हैं, और इसी तरह आगे।
पहली (सबसे ऊपर की) पंक्ति में एक ही वैल्यू होती है: 1।
आगे की पंक्तियों की वैल्यू पिछली पंक्ति में वर्तमान स्थान के ठीक दाएँ और ठीक बाएँ की संख्याओं को जोड़कर निकाली जाती हैं।
यदि पिछली पंक्ति में वर्तमान स्थान के बाएँ या दाएँ कोई वैल्यू नहीं होती (ऐसा केवल सबसे बाएँ और सबसे दाएँ स्थानों पर होता है), तो उस स्थान की वैल्यू को शून्य मानिए (यानी जोड़ते समय उसे "अनदेखा" करना)।
उदाहरण
आइए पास्कल के त्रिभुज की पहली 5 पंक्तियाँ देखते हैं:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
सबसे ऊपर की पंक्ति में एक वैल्यू होती है, जो 1 है।
सबसे बाएँ और सबसे दाएँ वैल्यू के पास विचार करने के लिए केवल एक पिछला स्थान होता है। सबसे बाएँ वैल्यू के लिए वह उसके दाएँ वाला स्थान होता है, और सबसे दाएँ वैल्यू के लिए उसके बाएँ वाला स्थान।
चूँकि सबसे ऊपर की वैल्यू 1 है, इसलिए यह निकलता है कि सभी सबसे बाएँ और सबसे दाएँ वैल्यू भी 1 होती हैं।
बाकी सभी वैल्यू के लिए दो स्थान देखने होते हैं।
उदाहरण के लिए, पाँचवीं पंक्ति (1 4 6 4 1) की बीच वाली वैल्यू 6 है, क्योंकि पिछली पंक्ति में उसके बाएँ और दाएँ की वैल्यू 3 और 3 हैं:
