परिचय
मौसम बहुत अच्छा है, और आप कक्षा में एक घंटा बिताने के बारे में सोचकर भी खुश नहीं हैं।
चिढ़कर आप कक्षा में प्रवेश करते हैं, जहाँ ब्लैकबोर्ड पर अजीब तरह से संतोष देने वाली एक त्रिभुज आकृति दिखती है।
अपने गणित के शिक्षक के आने तक आप त्रिभुज में कुछ पैटर्न देखे बिना नहीं रह पाते: बाहरी वैल्यू सभी एक हैं, हर अगली पंक्ति में पिछली पंक्ति से एक वैल्यू अधिक होती है, और त्रिभुज सममित है।
अजीब!
आपके बैठने के कुछ ही देर बाद आपके शिक्षक कक्षा में आते हैं और बताते हैं कि यह त्रिभुज प्रसिद्ध पास्कल का त्रिभुज है।
अगले एक घंटे में आपके शिक्षक इस त्रिभुज में छिपी कुछ अद्भुत चीज़ें बताते हैं:
- इसकी मदद से यह गणना की जा सकती है कि N वैल्यू में से K एलिमेंट चुनने के कितने तरीके हैं।
- इसमें फिबोनाची अनुक्रम होता है।
- अगर आप विषम और सम संख्याओं को अलग-अलग रंगों में रंगें, तो आपको एक सुंदर पैटर्न मिलता है जिसे सिएरपिंस्की त्रिभुज कहते हैं।
शिक्षक आपसे और आपके सहपाठियों से अन्य उपयोग खोजने का आग्रह करते हैं, और आश्वासन देते हैं कि ऐसे और भी बहुत हैं!
उसी क्षण स्कूल की घंटी बजती है।
आपको एहसास होता है कि पिछले एक घंटे से आप पास्कल के त्रिभुज के बारे में सीखने में पूरी तरह डूबे हुए थे।
आप फुर्ती से अपने बैग से लैपटॉप निकालते हैं और बाहर चले जाते हैं, धूप और पास्कल के त्रिभुज के चमत्कारों, दोनों का आनंद लेने के लिए तैयार।
निर्देश
आपको पास्कल के त्रिभुज की पहली N पंक्तियाँ देनी हैं।
पास्कल का त्रिभुज धनात्मक पूर्णांकों का एक त्रिभुजाकार ऐरे है।
पास्कल के त्रिभुज में किसी पंक्ति में वैल्यू की संख्या उस पंक्ति के क्रमांक के बराबर होती है (जो एक से शुरू होता है)।
इसलिए पहली पंक्ति में एक वैल्यू होती है, दूसरी पंक्ति में दो वैल्यू होती हैं, और इसी तरह आगे।
पहली (सबसे ऊपर की) पंक्ति में एक ही वैल्यू होती है: 1।
आगे की पंक्तियों की वैल्यू पिछली पंक्ति में वर्तमान स्थान के ठीक दाएँ और ठीक बाएँ की संख्याओं को जोड़कर निकाली जाती हैं।
यदि पिछली पंक्ति में वर्तमान स्थान के बाएँ या दाएँ कोई वैल्यू नहीं होती (ऐसा केवल सबसे बाएँ और सबसे दाएँ स्थानों पर होता है), तो उस स्थान की वैल्यू को शून्य मानिए (यानी जोड़ते समय उसे "अनदेखा" करना)।
उदाहरण
आइए पास्कल के त्रिभुज की पहली 5 पंक्तियाँ देखते हैं:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
सबसे ऊपर की पंक्ति में एक वैल्यू होती है, जो 1 है।
सबसे बाएँ और सबसे दाएँ वैल्यू के पास विचार करने के लिए केवल एक पिछला स्थान होता है। सबसे बाएँ वैल्यू के लिए वह उसके दाएँ वाला स्थान होता है, और सबसे दाएँ वैल्यू के लिए उसके बाएँ वाला स्थान।
चूँकि सबसे ऊपर की वैल्यू 1 है, इसलिए यह निकलता है कि सभी सबसे बाएँ और सबसे दाएँ वैल्यू भी 1 होती हैं।
बाकी सभी वैल्यू के लिए दो स्थान देखने होते हैं।
उदाहरण के लिए, पाँचवीं पंक्ति (1 4 6 4 1) की बीच वाली वैल्यू 6 है, क्योंकि पिछली पंक्ति में उसके बाएँ और दाएँ की वैल्यू 3 और 3 हैं:
