Números complexos

Instruções

Um número complexo é expresso na forma z = a + b * i, em que:

• a é a parte real (um número real),

• b é a parte imaginária (também um número real), e

• i é a unidade imaginária, que satisfaz i^2 = -1.

Operações com números complexos

Conjugado

O conjugado do número complexo z = a + b * i é dado por:

zc = a - b * i

Valor absoluto

O valor absoluto (ou módulo) de z é definido como:

|z| = sqrt(a^2 + b^2)

O quadrado do valor absoluto é calculado como o produto de z pelo seu conjugado zc:

|z|^2 = z * zc = a^2 + b^2

Adição

A soma de dois números complexos z1 = a + b * i e z2 = c + d * i é calculada somando suas partes real e imaginária separadamente:

z1 + z2 = (a + b * i) + (c + d * i)
        = (a + c) + (b + d) * i

Subtração

A diferença de dois números complexos é obtida subtraindo as respectivas partes:

z1 - z2 = (a + b * i) - (c + d * i)
        = (a - c) + (b - d) * i

Multiplicação

O produto de dois números complexos é definido como:

z1 * z2 = (a + b * i) * (c + d * i)
        = (a * c - b * d) + (b * c + a * d) * i

Recíproco

O recíproco de um número complexo não nulo é dado por:

1 / z = 1 / (a + b * i)
      = a / (a^2 + b^2) - b / (a^2 + b^2) * i

Divisão

A divisão de um número complexo por outro é dada por:

z1 / z2 = z1 * (1 / z2)
        = (a + b * i) / (c + d * i)
        = (a * c + b * d) / (c^2 + d^2) + (b * c - a * d) / (c^2 + d^2) * i

Exponenciação

Elevar e (a base do logaritmo natural) a um expoente complexo pode ser expresso pela fórmula de Euler:

e^(a + b * i) = e^a * e^(b * i)
              = e^a * (cos(b) + i * sin(b))

Requisitos de implementação

Como você não deve usar suporte nativo a números complexos, implemente as seguintes operações:

• adição de dois números complexos
• subtração de dois números complexos
• multiplicação de dois números complexos
• divisão de dois números complexos
• conjugado de um número complexo
• valor absoluto de um número complexo
• exponenciação de e (a base do logaritmo natural) a um número complexo

Implementação

Este exercício exige que você use objetos baseados em closures. Você pode ler mais sobre essa abordagem de orientação a objetos em Lua neste artigo.

Este exercício também exige que você use sobrecarga de operadores por meio de metamétodos de metatabelas. Você pode ler mais sobre isso em Programming in Lua.

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Fonte

Wikipedia