Instructions
Un nombre complexe s'écrit sous la forme z = a + b * i, où :
-
a est la partie réelle (un nombre réel),
-
b est la partie imaginaire (aussi un nombre réel), et
-
i est l'unité imaginaire qui vérifie i^2 = -1.
Opérations sur les nombres complexes
Conjugué
Le conjugué du nombre complexe z = a + b * i est donné par :
zc = a - b * i
Valeur absolue
La valeur absolue (ou module) de z est définie par :
|z| = sqrt(a^2 + b^2)
Le carré de la valeur absolue se calcule comme le produit de z et de son conjugué zc :
|z|^2 = z * zc = a^2 + b^2
Addition
La somme de deux nombres complexes z1 = a + b * i et z2 = c + d * i s'obtient en additionnant séparément leurs parties réelles et imaginaires :
z1 + z2 = (a + b * i) + (c + d * i)
= (a + c) + (b + d) * i
Soustraction
La différence de deux nombres complexes s'obtient en soustrayant leurs parties respectives :
z1 - z2 = (a + b * i) - (c + d * i)
= (a - c) + (b - d) * i
Multiplication
Le produit de deux nombres complexes est défini par :
z1 * z2 = (a + b * i) * (c + d * i)
= (a * c - b * d) + (b * c + a * d) * i
Inverse
L'inverse d'un nombre complexe non nul est donné par :
1 / z = 1 / (a + b * i)
= a / (a^2 + b^2) - b / (a^2 + b^2) * i
Division
La division d'un nombre complexe par un autre est donnée par :
z1 / z2 = z1 * (1 / z2)
= (a + b * i) / (c + d * i)
= (a * c + b * d) / (c^2 + d^2) + (b * c - a * d) / (c^2 + d^2) * i
Exponentiation
Élever e (la base du logarithme népérien) à un exposant complexe peut s'exprimer à l'aide de la formule d'Euler :
e^(a + b * i) = e^a * e^(b * i)
= e^a * (cos(b) + i * sin(b))
Exigences d'implémentation
Comme tu ne dois pas t'appuyer sur une prise en charge intégrée des nombres complexes, implémente les opérations suivantes :
- l'addition de deux nombres complexes
- la soustraction de deux nombres complexes
- la multiplication de deux nombres complexes
- la division de deux nombres complexes
- le conjugué d'un nombre complexe
- la valeur absolue d'un nombre complexe
- l'exponentiation de e (la base du logarithme népérien) à un nombre complexe
Implémentation
Cet exercice te demande d'utiliser des objets basés sur des closures. Tu peux en savoir plus sur cette approche de la programmation orientée objet en Lua dans cet article.
Cet exercice te demande aussi d'utiliser la surcharge d'opérateurs via les métaméthodes de métatables. Tu peux en savoir plus à ce sujet dans Programming in Lua.
