احتمال‌های مشکل‌ساز

julia> 3//4
3//4

julia> a = 3; b = 4;

julia> a//b
3//4

julia> 5//15
1//3

julia> 5//-15
-1//3

julia> 3//4 + 1//3  # addition
13//12

julia> 3//4 * 1//3  # multiplication
1//4

julia> 3//4 / 1//3  # division
9//4

julia> 3//4 ^ 2  # exponentiation
3//16

julia> 3//4 + 5  # rational and int => rational
23//4

julia> 3//4 + 5.3  # rational and float => float
6.05

julia> float(3//4)  # casting
0.75

julia> 3//4 == 0.75
true

julia> 3//4 < 0.74
false

julia> 1//3 == 1/3
false

julia> float(1//3) == 1/3
true

julia> sqrt(9//16)
0.75

دستورالعمل‌ها

یک سازمان پژوهشی متوجه شده است که برخی از پژوهشگران تازه‌کارش در تحلیل‌های خود از روش‌های چندان بهینه‌ای استفاده می‌کنند. یکی از این روش‌ها، تبدیل بی‌درنگ احتمال‌های گسسته به اعداد اعشاری (یعنی اعداد حقیقی) پیش از انجام محاسبات بیشتر است.

پژوهشگران ارشد ترجیح می‌دهند در محاسبات از اعداد گویا استفاده کنند، چون ممکن است دقت بالاتری به دست دهد، و می‌خواهند بدانند آیا روش‌های ضعیف پژوهشگران تازه‌کار روی نتایج مطالعات تأثیر گذاشته است یا نه.

دو نوع مطالعه انجام شده بود:

• آزمون‌های زیادی اجرا شد و هر کدام یک احتمال گسسته برای موفقیت برگرداند. سپس میانگین این احتمال‌ها محاسبه شد.
• رویدادهای مستقل زیادی آزموده شد و احتمال کل وقوع همه‌ی رویدادها با ضرب کردن آن‌ها در هم محاسبه شد.

پژوهشگران ارشد از شما می‌خواهند توابعی بنویسید که به آن‌ها کمک کند تعیین کنند آیا در تحلیل‌هایی که با اعداد اعشاری انجام شده خطای گرد کردن وجود دارد یا نه، و اگر چنین خطاهایی هست، یک عدد گویای دقیق برای نتیجه در اختیارشان بگذارید.

1. نسبت موفقیت‌ها به آزمون‌ها را بدهید

تابع rationalize(successes, trials) دو آرایه‌ی successes و trials را می‌گیرد. برای اندیس i، مقدار successes[i] به تعداد موفقیت‌هایی اشاره دارد که در trials[i] آزمون رخ داده است. این تابع آرایه‌ای از اعداد گویا برمی‌گرداند که نسبت موفقیت‌ها به تعداد آزمون‌ها را نشان می‌دهد، با همان ترتیبی که در آرایه‌های ورودی آمده است.

julia> rationalize([1, 2, 3], [4, 5, 6])
3-element Vector{Rational{Int64}}:
 1//4
 2//5
 1//2

2. احتمال‌های حقیقی متناظر با موفقیت‌ها و آزمون‌ها را پیدا کنید

به همین ترتیب، تابع probabilities(successes, trials) دو آرایه‌ی successes و trials را می‌گیرد. این تابع آرایه‌ای از اعداد اعشاری برمی‌گرداند که نسبت موفقیت‌ها به تعداد آزمون‌ها را نشان می‌دهد، با همان ترتیبی که در آرایه‌های ورودی آمده است.

julia> probabilities([1, 2, 3], [4, 5, 6])
3-element Vector{Float64}:
 0.25
 0.4
 0.5

3. میانگین احتمال‌ها را بررسی کنید

تابع checkmean(successes, trials) دو آرایه‌ی successes و trials را می‌گیرد. این تابع میانگین احتمال‌های حقیقی را با میانگین احتمال‌های گویا مقایسه می‌کند.

• اگر این دو احتمال برابر باشند، checkmean مقدار true را برمی‌گرداند.
• اگر این دو احتمال متفاوت باشند، checkmean احتمال گویا را برمی‌گرداند.

julia> successes, trials = [9, 4, 7, 8, 6], [22, 22, 11, 17, 12];
julia> checkmean(successes, trials)
true

julia> successes, trials = [6, 5, 9, 8, 9], [21, 19, 13, 25, 22];
julia> checkmean(successes, trials)
1873629//4754750

4. احتمال مستقل را بررسی کنید

تابع checkprob(successes, trials) دو آرایه‌ی successes و trials را می‌گیرد. این تابع احتمال کل حاصل از احتمال‌های اعشاری را با احتمال کل حاصل از احتمال‌های گویا مقایسه می‌کند.

• اگر این دو احتمال برابر باشند، checkprob مقدار true را برمی‌گرداند.
• اگر این دو احتمال متفاوت باشند، checkprob احتمال گویا را برمی‌گرداند.

julia> successes, trials = [2, 9, 4, 4, 5], [15, 11, 17, 19, 15];
julia> checkprob(successes, trials)
true

julia> successes, trials = [9, 8, 5, 4, 3], [22, 14, 19, 25, 18];
julia> checkprob(sucesses, trials)
12//7315