احتمالات إشكالية

julia> 3//4
3//4

julia> a = 3; b = 4;

julia> a//b
3//4

julia> 5//15
1//3

julia> 5//-15
-1//3

julia> 3//4 + 1//3  # addition
13//12

julia> 3//4 * 1//3  # multiplication
1//4

julia> 3//4 / 1//3  # division
9//4

julia> 3//4 ^ 2  # exponentiation
3//16

julia> 3//4 + 5  # rational and int => rational
23//4

julia> 3//4 + 5.3  # rational and float => float
6.05

julia> float(3//4)  # casting
0.75

julia> 3//4 == 0.75
true

julia> 3//4 < 0.74
false

julia> 1//3 == 1/3
false

julia> float(1//3) == 1/3
true

julia> sqrt(9//16)
0.75

التعليمات

لاحظت إحدى المؤسسات البحثية أن بعض باحثيها المبتدئين يستخدمون أساليب أقل من مثالية في تحليلاتهم. أحد هذه الأساليب هو تحويل الاحتمالات المتقطعة فورًا إلى أعداد عشرية (أي أعداد حقيقية) قبل إجراء المزيد من الحسابات.

يفضّل الباحثون الكبار استخدام الأعداد النسبية في الحسابات، إذ قد توفّر دقة أعلى، ويرغبون في معرفة ما إذا كانت الممارسات السيئة للباحثين المبتدئين قد أثّرت على نتائج الدراسات.

أُجري نوعان من الدراسات:

• أُجريت اختبارات كثيرة، ويعطي كل منها احتمالًا متقطعًا للنجاح، ثم حُسب المتوسط لهذه الاحتمالات.
• اختُبرت أحداث مستقلة كثيرة، وحُسب الاحتمال الكلي لوقوع جميع الأحداث بضربها في بعضها.

يطلب منك الباحثون الكبار أن تكتب دوال يمكنها مساعدتهم في تحديد ما إذا كانت هناك أخطاء تقريب في التحليلات ناتجة عن استخدام الأعداد العشرية، وأن توفّر عددًا نسبيًا دقيقًا للنتيجة إذا وُجدت أخطاء.

1. أعطِ نسبة النجاحات إلى المحاولات

تأخذ الدالة rationalize(successes, trials) مصفوفتين، هما successes وtrials. بالنسبة للفهرس i، يقابل successes[i] عدد النجاحات التي حدثت في trials[i] من المحاولات. تُرجع الدالة مصفوفة من الأعداد النسبية للنجاحات مقسومة على عدد المحاولات، بالترتيب نفسه الذي في المصفوفات المُدخلة.

julia> rationalize([1, 2, 3], [4, 5, 6])
3-element Vector{Rational{Int64}}:
 1//4
 2//5
 1//2

2. أوجد الاحتمالات الحقيقية المرتبطة بنسب النجاحات إلى المحاولات

وبالمثل، تأخذ الدالة probabilities(successes, trials) مصفوفتين، هما successes وtrials. تُرجع مصفوفة من الأعداد العشرية للنجاحات مقسومة على عدد المحاولات، بالترتيب نفسه الذي في المصفوفات المُدخلة.

julia> probabilities([1, 2, 3], [4, 5, 6])
3-element Vector{Float64}:
 0.25
 0.4
 0.5

3. تحقّق من متوسط الاحتمالات

تأخذ الدالة checkmean(successes, trials) المصفوفتين successes وtrials. تقارن متوسط الاحتمالات الحقيقية بمتوسط الاحتمالات النسبية.

• إذا تساوى الاحتمالان، تُرجع checkmean القيمة true
• وإذا اختلف الاحتمالان، تُرجع checkmean الاحتمال النسبي.

julia> successes, trials = [9, 4, 7, 8, 6], [22, 22, 11, 17, 12];
julia> checkmean(successes, trials)
true

julia> successes, trials = [6, 5, 9, 8, 9], [21, 19, 13, 25, 22];
julia> checkmean(successes, trials)
1873629//4754750

4. تحقّق من الاحتمال المستقل

تأخذ الدالة checkprob(successes, trials) المصفوفتين successes وtrials. تقارن الاحتمال الكلي للاحتمالات العشرية بالاحتمال الكلي للاحتمالات النسبية.

• إذا تساوى الاحتمالان، تُرجع checkprob القيمة true
• وإذا اختلف الاحتمالان، تُرجع checkprob الاحتمال النسبي.

julia> successes, trials = [2, 9, 4, 4, 5], [15, 11, 17, 19, 15];
julia> checkprob(successes, trials)
true

julia> successes, trials = [9, 8, 5, 4, 3], [22, 14, 19, 25, 18];
julia> checkprob(sucesses, trials)
12//7315