मुश्किल प्रायिकताएँ

julia> 3//4
3//4

julia> a = 3; b = 4;

julia> a//b
3//4

julia> 5//15
1//3

julia> 5//-15
-1//3

julia> 3//4 + 1//3  # addition
13//12

julia> 3//4 * 1//3  # multiplication
1//4

julia> 3//4 / 1//3  # division
9//4

julia> 3//4 ^ 2  # exponentiation
3//16

julia> 3//4 + 5  # rational and int => rational
23//4

julia> 3//4 + 5.3  # rational and float => float
6.05

julia> float(3//4)  # casting
0.75

julia> 3//4 == 0.75
true

julia> 3//4 < 0.74
false

julia> 1//3 == 1/3
false

julia> float(1//3) == 1/3
true

julia> sqrt(9//16)
0.75

निर्देश

एक शोध संस्था ने ध्यान दिया है कि उसके कुछ कनिष्ठ शोधकर्ता अपने विश्लेषण में उतने अच्छे तरीके नहीं अपना रहे जितने होने चाहिए। इनमें से एक तरीका यह है कि आगे की गणनाएँ करने से पहले असतत प्रायिकताओं को तुरंत दशमलव संख्याओं (यानी वास्तविक संख्याओं) में बदल दिया जाए।

वरिष्ठ शोधकर्ता गणनाओं में परिमेय संख्याएँ इस्तेमाल करना पसंद करते हैं, क्योंकि इससे ज़्यादा परिशुद्धता मिल सकती है। वे यह भी जानना चाहते हैं कि कनिष्ठ शोधकर्ताओं के कमज़ोर तरीकों ने अध्ययनों के परिणामों को प्रभावित किया है या नहीं।

अध्ययन दो तरह के किए गए थे:

• बहुत सारे परीक्षण किए गए, जिनमें हर एक सफलता की एक असतत प्रायिकता देता था। फिर इन प्रायिकताओं का औसत निकाला गया।
• कई स्वतंत्र घटनाओं का परीक्षण किया गया। सभी घटनाओं के होने की कुल प्रायिकता उन्हें आपस में गुणा करके निकाली गई।

वरिष्ठ शोधकर्ता आपसे कुछ फंक्शन लिखने को कह रहे हैं। ये फंक्शन उन्हें यह पता लगाने में मदद करेंगे कि दशमलव संख्याएँ इस्तेमाल करने से विश्लेषणों में राउंडिंग एरर आई हैं या नहीं। अगर एरर आई हों, तो आपको परिणाम के लिए एक सटीक परिमेय संख्या भी देनी है।

1. सफलताओं और परीक्षणों का अनुपात दीजिए

rationalize(successes, trials) फंक्शन दो ऐरे लेता है, successes और trials। किसी इंडेक्स i के लिए, successes[i] उन सफलताओं की संख्या बताता है जो trials[i] परीक्षणों में हुईं। यह फंक्शन सफलताओं को परीक्षणों की संख्या से भाग देने पर मिलने वाली परिमेय संख्याओं का एक ऐरे लौटाता है, और इनका क्रम इनपुट ऐरे के क्रम जैसा ही होता है।

julia> rationalize([1, 2, 3], [4, 5, 6])
3-element Vector{Rational{Int64}}:
 1//4
 2//5
 1//2

2. सफलताओं और परीक्षणों से जुड़ी दशमलव प्रायिकताएँ निकालिए

इसी तरह, probabilities(successes, trials) फंक्शन भी दो ऐरे लेता है, successes और trials। यह सफलताओं को परीक्षणों की संख्या से भाग देने पर मिलने वाली दशमलव संख्याओं का एक ऐरे लौटाता है, और इनका क्रम भी इनपुट ऐरे के क्रम जैसा ही होता है।

julia> probabilities([1, 2, 3], [4, 5, 6])
3-element Vector{Float64}:
 0.25
 0.4
 0.5

3. प्रायिकताओं के औसत की जाँच कीजिए

checkmean(successes, trials) फंक्शन दोनों ऐरे, successes और trials, लेता है। यह दशमलव प्रायिकताओं के औसत की तुलना परिमेय प्रायिकताओं के औसत से करता है।

• अगर दोनों प्रायिकताएँ बराबर हों, तो checkmean true लौटाता है।
• अगर दोनों प्रायिकताएँ अलग हों, तो checkmean परिमेय प्रायिकता लौटाता है।

julia> successes, trials = [9, 4, 7, 8, 6], [22, 22, 11, 17, 12];
julia> checkmean(successes, trials)
true

julia> successes, trials = [6, 5, 9, 8, 9], [21, 19, 13, 25, 22];
julia> checkmean(successes, trials)
1873629//4754750

4. स्वतंत्र प्रायिकता की जाँच कीजिए

checkprob(successes, trials) फंक्शन दोनों ऐरे, successes और trials, लेता है। यह दशमलव प्रायिकताओं की कुल प्रायिकता की तुलना परिमेय प्रायिकताओं की कुल प्रायिकता से करता है।

• अगर दोनों प्रायिकताएँ बराबर हों, तो checkprob true लौटाता है।
• अगर दोनों प्रायिकताएँ अलग हों, तो checkprob परिमेय प्रायिकता लौटाता है।

julia> successes, trials = [2, 9, 4, 4, 5], [15, 11, 17, 19, 15];
julia> checkprob(successes, trials)
true

julia> successes, trials = [9, 8, 5, 4, 3], [22, 14, 19, 25, 18];
julia> checkprob(sucesses, trials)
12//7315