Komplexe Zahlen

Anleitung

Eine komplexe Zahl ist eine Zahl der Form a + b * i, wobei a und b reell sind und i die Gleichung i^2 = -1 erfüllt.

a heißt der Realteil und b der Imaginärteil von z. Die konjugiert komplexe Zahl zu a + b * i ist die Zahl a - b * i. Der Betrag einer komplexen Zahl z = a + b * i ist eine reelle Zahl |z| = sqrt(a^2 + b^2). Das Quadrat des Betrags |z|^2 ist das Ergebnis der Multiplikation von z mit ihrer konjugiert komplexen Zahl.

Bei der Summe/Differenz zweier komplexer Zahlen werden ihre Real- und Imaginärteile getrennt addiert/subtrahiert: (a + i * b) + (c + i * d) = (a + c) + (b + d) * i, (a + i * b) - (c + i * d) = (a - c) + (b - d) * i.

Das Ergebnis der Multiplikation ist per Definition (a + i * b) * (c + i * d) = (a * c - b * d) + (b * c + a * d) * i.

Der Kehrwert einer komplexen Zahl ungleich null ist 1 / (a + i * b) = a/(a^2 + b^2) - b/(a^2 + b^2) * i.

Dividiert man eine komplexe Zahl a + i * b durch eine andere c + i * d, ergibt sich: (a + i * b) / (c + i * d) = (a * c + b * d)/(c^2 + d^2) + (b * c - a * d)/(c^2 + d^2) * i.

Das Potenzieren von e mit einem komplexen Exponenten lässt sich als e^(a + i * b) = e^a * e^(i * b) ausdrücken, wobei der letzte Term durch die Eulersche Formel e^(i * b) = cos(b) + i * sin(b) gegeben ist.

Implementiere die folgenden Operationen:

• Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division zweier komplexer Zahlen,
• Konjugation, Betrag und Potenz einer gegebenen komplexen Zahl.

Gehe davon aus, dass die Programmiersprache, die du verwendest, keine Implementierung komplexer Zahlen hat.

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Quelle

Wikipedia